4. La première théorie de la réfraction astronomique

Cassini est le premier à fournir une table des réfractions à partir de considérations théoriques sur la forme de l’atmosphère. Il n’a cependant jamais publié la théorie qu’il a développé pour l’occasion. C’est pourquoi nous avons cherché à retrouver cette théorie à partir des hypothèses adoptées par Cassini.

Contrairement à Tycho Brahé, Cassini dispose de la loi de la réfraction de Descartes énoncée en 1637, il va donc rechercher un modèle paramétrique de la réfraction atmosphérique; il s’agit d’élaborer une méthode de calcul permettant de calculer directement la valeur de la réfraction de la lumière pour chaque degré de hauteur sans avoir recours à l’observation. Pour cela il modélise l’atmosphère ; il en fait une enveloppe sphérique entourant la Terre à la traversée de laquelle le rayon de lumière se briserait tout net conformément à la loi de Descartes énoncée moins de trente ans auparavant. Le problème induit par l’hypothèse de Cassini ne peut pleinement être résolu pour une distance zénithale quelconque que par la détermination de deux constantes : l’épaisseur de l’atmosphère à partir de laquelle la réfraction se produit et la valeur mesurée de la réfraction à l’horizon. Ces deux constantes (paramètres) seront déterminées par deux observations de la réfraction : l’une à l’horizon, qu’il détermine égale à 32'20", et l’autre qu’il suppose égale à 1′ à 45° de hauteur.

Soit H la hauteur de l’atmosphère et R le rayon terrestre. L’étoile est vue par un observateur à une hauteur h1 et se trouve en fait à une hauteur vraie où ρ est la réfraction à la hauteur apparente h1. Le rayon venant de l’étoile tombe sur l’atmosphère à une incidence i et est réfractée sous un angle de réfraction r tel que i = r + ρ.

D’après la loi de Snell-Descartes:

 où n est l’indice de réfraction de l’atmosphère. Comme ρ est petit

On a la relation approchée :  

Dans le triangle POC, on applique la loi des sinus :

\(\frac{\sin r}{R}=\frac{\sin \left( {{h}_{1}}+90{}^\circ \right)}{R+H}=\frac{{{\cosh }_{1}}}{R+H}\)

Fig.4 : Modèle d’atmosphère adopté pour Cassini pour le calcul de sa Table des réfractions

En supposant \(\frac{H}{R}\ll 1\)

on a alors

 

\begin{align} & \sin r\simeq \frac{1}{1+\frac{H}{R}}{{\cosh }_{1}}\approx \left( 1-\frac{H}{R} \right){{\cosh }_{1}} \\ & \cos r={{\left[ 1-{{\left( 1-\frac{H}{R} \right)}^{2}}{{\cos }^{2}}{{h}_{1}} \right]}^{\frac{1}{2}}}\approx {{\left[ {{\sin }^{2}}{{h}_{1}}+2\frac{H}{R} \right]}^{\frac{1}{2}}} \\ \end{align}

 

D’où

 

\(\tan r\approx {{\cosh }_{1}}{{\left[ {{\sin }^{2}}{{h}_{1}}+2\frac{H}{R} \right]}^{-{1}/{2}\;}}\)

                              [1]

Pour h= 0, à l’horizon, on a

 

\(\rho\left(0\right)=\left( n-1\right)\sqrt{\frac{R}{2H}}\)

                              [2]

D’où la formule générale exacte à deux paramètres, ρ(0) et H/R :

 

\(\rho \left( {{h}_{1}} \right)=\rho \left( 0 \right)\sqrt{\frac{2H}{R}}{{\cosh }_{1}}{{\left[ {{\sin }^{2}}{{h}_{1}}+2\frac{H}{R} \right]}^{-\frac{1}{2}}}=\rho \left( 0 \right)\sqrt{\frac{2H}{R}}\tan {{z}_{1}}\frac{1}{\sqrt{1+2\frac{H}{R{{\cos }^{2}}{{z}_{1}}}}}\)

                              [3]

À 45° de hauteur on a

\(\rho\left(45{}^\circ\right)=\rho\left(0\right)\sqrt{\frac{H}{R}}{{\left[\frac{1}{2}+2\frac{H}{R} \right]}^{-\frac{1}{2}}}\)

 

 

Cassini détermine par tâtonnements – ou par itérations successives dirions-nous de nos jours -  la valeur du paramètre H telle que la réfraction à 45° soit de  0ʹ59,8", ceci s’obtient, en admettant ρ(0) = 32ʹ20", pour H = 1600 toises = 3,09 km et H/R = 3,09 /6500,0 = 0,000475385 avec R = 6500km. De ces valeurs, on peut alors déduire celle de l’indice de réfraction de l’air par la relation [2] : n = 1,00029. C’est en effet avec ces quantités, que l’on retrouve à quelques secondes de degré près les valeurs de la dernière table des réfractions publiée par Cassini en 1684. La formule précédente peut encore se simplifier sous la forme suivante plus familière, proportionnelle à la tangente de l’angle zénithal z1 :

\(\rho \left( {{h}_{1}} \right)\approx \rho \left( 0 \right)\sqrt{\frac{2H}{R}}\tan {{z}_{1}}\left[ 1-\frac{H}{R{{\sin }^{2}}{{h}_{1}}} \right]=\rho \left( 0 \right)\sqrt{\frac{2H}{R}}\tan {{z}_{1}}\left[ 1-\frac{H}{R{{\cos }^{2}}{{z}_{1}}} \right]\)

                              [4]

En y faisant la substitution suivante :

\(\frac{1}{{{\cos }^{2}}{{z}_{1}}}=1+{{\tan }^{2}}{{z}_{1}}\)

 

On obtient alors la formule approchée suivante :

\(\left\{ \begin{align} & \rho \left( {{h}_{1}} \right)=\rho \left( 0 \right)\sqrt{\frac{2H}{R}}\tan {{z}_{1}}\left[ 1-\frac{H}{R}-\frac{H}{R}{{\tan }^{2}}{{z}_{1}} \right]=A\tan {{z}_{1}}-B{{\tan }^{3}}{{z}_{1}} \\ & A=\rho \left( 0 \right)\sqrt{\frac{2H}{R}}\left( 1-\frac{H}{R} \right)=(n-1)\left( 1-\frac{H}{R} \right)=59,790'' \\ & B=\rho \left( 0 \right)\frac{H}{R}\sqrt{\frac{2H}{R}}=(n-1)\frac{H}{R}=0,02843'' \end{align} \right. \)

                              [5]

Cassini n’a donc pas eu à se préoccuper de l’indice de réfraction de l’air. Il lui suffisait juste de déterminer les deux paramètres de sa loi, l’un – la réfraction à l’horizon - par l’observation et l’autre – la hauteur de l’atmosphère ou plus exactement le rapport H/R – de façon empirique par une méthode essai/erreur de façon à contraindre la valeur de la réfraction à 45° égale à ~1ʹ, valeur exigée pour qu’il y ait accord entre ses observations à San Petronio et sa théorie solaire en admettant aussi une parallaxe solaire inférieure à 12".

On pourrait s’étonner de la longévité des Tables de Cassini dans la Connaissance des Temps ( 1685-1765) en dépit de recherches théoriques plus complexes prenant en compte un modèle d’atmosphère. En fait nous pouvons remarquer que le formulaire obtenu ci-dessus est tout simplement identique à ce qui est de nos jours appelé la formule de Laplace[1]. Il est toutefois important de souligner que Cassini n’a pas jugé utile de produire un formulaire ou une loi immédiatement utilisable ; il s’est contenté de construire une Table des réfractions pour chaque degré de distance zénithale.  Il ne sera donc pas le premier à montrer la dépendance approchée de l’angle de réfraction en fonction de la tangente de la distance au zénith.

En procédant ainsi, Cassini ne fait aucune hypothèse sur la nature de l’astre considéré, Soleil ou étoile; il unifie la réfraction en une seule loi. Il bât ainsi en brèche les idées fortement ancrées de Tycho Brahé, véritable monument de l’astronomie à cette époque. Sa première table des réfractions sera publiée en 1662 puis une seconde, plus précise, en 1684. Cette table servira jusqu’au milieu du XVIIIe siècle. On la trouve dans la Connaissance des temps jusqu’en 1765, dans l’Histoire céleste de le Monnier, dans l’Almanach astronomique de Berlin jusqu’en 1747. Les tables de Cassini seront jugées excellentes par Lacaille depuis 15-23° de hauteur jusqu’au zénith, et préférables à celles de Flamsteed et de Newton. La table de Cassini est en effet remarquablement juste  jusque 70° de distance zénithale environ. Cela tient à ce que jusqu’à cette limite, les réfractions sont indépendantes du système atmosphérique que l’on adopte, pourvu que les constantes physiques relatives à la couche inférieure soient déterminées avec exactitude. Newton s’était également attaqué au problème de la réfraction mais en supposant un système d’atmosphère où les densités décroîtraient par différences égales pour des augmentations égales d’altitude. Il abandonna ce premier système au profit d’un second plus juste mais pour lequel il détermina les constantes par des observations voisines de l’horizon que lui avait communiquées Flamsteed au lieu de quelques réfractions correspondantes à des distances zénithales peu considérables et bien observées comme l’avait fait Cassini. De ce fait sa Table, bien qu’exacte comme déduction du calcul, s’est trouvée finalement en désaccord avec les réfractions réelles.



[1] La formule de Laplace de la réfraction est l’expression de la réfraction en fonction de la tangente de l’angle zénithal et de la tangente au cube de l’angle zénithal.