7. La Table des réfractions de Caillet

Les perfectionnements intervenus dans la construction des instruments astronomiques, et la grande précision des observations faites à partir du milieu du XIX^e siècle tirent les exigences vers le haut. C’est pourquoi il était devenu nécessaire de calculer les Tables de réfractions fondées sur l’hypothèse de Laplace avec plus de développements et en introduisant également les déterminations les plus récentes de la dilatation et de la densité de l’air et du mercure. C’est ce que fit Vincent Caillet, examinateur à la Marine. Ainsi, à partir de 1851, suite à un rapport présenté devant le Bureau des longitudes dont Arago était l’un des rapporteurs, de nouvelles Tables des réfractions font leur apparition dans la Connaissance des Temps.

Caillet décide en particulier de substituer

\(\frac{1}{{{\cos }^{2}}z}\)

par

\(1+{{\tan }^{2}}z\)

dans la formule [7],ce qui donne

\begin{align}& \rho =\alpha \left[ \left( 1+\frac{3}{2}\alpha -\frac{l}{a} \right)\tan z-\left( \frac{l}{a}-\frac{\alpha }{2} \right){{\tan }^{3}}z \right] \\&\\ & \rho =60,56706''\tan z-0,067018''{{\tan }^{3}}z \\ \end{align}

                              [8]

Relation aujourd’hui connue sous le nom de formule de Laplace. Cependant, cette expression ne convient pas aux réfractions près de l’horizon dès lors que la distance zénithale passe au-delà de 70°. Caillet reprend alors et simplifie également le formulaire de Laplace pour les grandes distances zénithales. La Table ainsi obtenue se rapporte à la température de la glace fondante et à la pression barométrique de 760mm. Pour trouver les modifications qu’elle subit dans un autre état de l’atmosphère, Caillet a recours à la formule générale de Laplace où T est la température et h la hauteur de barométrique :

\begin{align} & \rho =\alpha \eta \varepsilon \tan z+\frac{{{\alpha }^{2}}}{2}{{\eta }^{2}}{{\varepsilon }^{2}}\frac{\left( 1+2\cos {{z}^{2}} \right)\tan z}{\cos {{z}^{2}}}-\alpha \eta \frac{1}{1+\eta T}\frac{\tan z}{\cos {{z}^{2}}} \\& \eta =\frac{h}{760} \\ & \varepsilon =\frac{1}{\left( 1+mT \right)\left( 1+nT \right)} \\\end{align}

                              [9]

Caillet adopte comme coefficient de dilatation de l’air m = 0,003665 et comme coefficient de dilatation du mercure n = 0,00018018 d’après Regnault et Lavoisier.